Do czynienia z pojęciami NWW i NWD mamy już od szkoły podstawowej. Niektóre zadania można rozwiązać wręcz w pamięci, lecz są też takie, które mogą wprawić nas w zakłopotanie. Zapraszamy do artykułu pt. “Jak obliczyć NWW i NWD? Przykłady”, a dowiesz się krok po kroku jak rozwiązywać podobne zadania.
Przejdź na skróty:
Jak obliczyć NWW dla dwóch liczb?
NWW oznacza najmniejszą wspólną wielokrotność przynajmniej dwóch liczb naturalnych. Obliczyć NWW, to nic innego jak znaleźć najmniejszą liczbę, która będzie podzielna przez wszystkie podane liczby.
Krok pierwszy – Rozkładanie na czynniki NWW
Aby to zrobić rozkładamy podane liczby na czynniki pierwsze, a następnie skreślamy czynniki, które się powtarzają przy każdej z liczb.
Rozkładanie na czynniki (dzielniki) pierwsze rozpoczynamy od znalezienia najmniejszej liczby dzielącej bez reszty wskazaną w zadaniu liczbę. Przykładowo dla 100 najmniejszym dzielnikiem jest 2. Po podzieleniu (100/2) uzyskamy 50. Następnie dla tak policzonej liczby ponownie szukamy jej najmniejszego dzielnika i czynność tę powtarzamy, aż do uzyskania cyfry 1. Kontynuując przykład: 50/2=25, 25/5=5, 5/5=1. Wynika z tego, że liczba 100 rozłożona na czynniki pierwsze daje nam 2, 2, 5 i 5.
Obliczenia dla NWW (12, 40):
Rozkładamy na czynniki pierwsze liczbę 12:
12/2=6, 6/2=3, 3/3=1
Uzyskane czynniki: 2, 2, 3
Rozkładamy na czynniki pierwsze liczbę 40:
40/2=20, 20/2=10, 10/2=5, 5/5=1
Uzyskane czynniki: 2, 2, 2, 5
(Rozkładanie na czynniki pierwsze można także zapisać w formie słupkowej, jak na zdjęciu powyżej – wtedy po prawej stronie zapisujemy dzielniki, a po lewej ilorazy kolejnych liczb)
W obu liczbach powtarzają nam się dwa dzielniki 2 i 2. Skreślamy je.
Krok drugi – Mnożenie przez czynniki liczby drugiej
Aby uzyskać NWW należy pomnożyć pierwszą wskazaną liczbę przez nieskreślone czynniki liczby drugiej albo odwrotnie.
Obliczenia cd.
NWW(12, 40)
W przypadku liczby 12 – mnożymy ją przez 2 i 5, gdyż takie czynniki pierwsze wyliczyliśmy wcześniej dla drugiej podanej liczby. W rezultacie uzyskamy: 1225=120.
W przypadku liczby 40 – mnożymy ją przez 3, gdyż taki czynnik pierwszy wyliczyliśmy dla pierwszej podanej liczby. W rezultacie uzyskamy: 40*3=120.
Krok trzeci – Wynik
Oba wyniki się zgadzają, a więc wyliczenia są poprawne i wskazują nam, że najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 12 i 40 jest 120. NWW(12, 44)=120
Jak obliczyć NWW dla trzech i więcej liczb?
Aby obliczyć NWW trzech i więcej liczb dzielimy je na pary, a następnie postępujemy identycznie jak w przypadku NWW dla dwóch liczb. Jeśli liczb jest nieparzyście to jedną z nich zostawiamy. Na koniec szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności wyników z obu par lub wyniku z jednej pary i liczby, która takiej pary nie miała. Przykładowo:
Obliczenia dla NWW(30, 50, 70)
Jako pary możemy sobie wybrać np. liczby 30 i 50. 70 zostaje na razie bez pary, zaraz się nią zajmiemy.
Rozkładamy na czynniki pierwsze liczbę 30:
30/2=15, 15/3=5, 5/5=1
Uzyskane czynniki: 2, 3, 5
Rozkładamy na czynniki pierwsze liczbę 50:
50/2=25, 25/5=5, 5/5=1
Uzyskane czynniki: 2, 5, 5
305=150 503=150
Wynik pierwszej pary to 150. Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność dla liczb 150 i 70, która pozostała bez pary.
150/2=75, 75/3=25, 25/5=5, 5/5=1
2, 3, 5, 5
70/2=35, 35/5=7, 7/7=1
2, 5, 7
1507=1050 703*5=1050
Wynik
NWW(30, 50, 70) = 1050
Jeżeli liczb, dla których szukamy NWW jest np. sześć, to dzielimy je na trzy pary. W każdej z tych par wyliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność. Otrzymamy trzy wyniki. Z nich tworzymy kolejną parę i jedną liczbę zostawiamy luzem. Wynik ostatniej pary konfrontujemy z pozostawioną liczbą w identyczny sposób jak robiliśmy to wcześniej i w ten sposób uzyskamy NWW dla sześciu liczb.
Jak obliczyć NWD?
NWD to największy wspólny dzielnik dwóch lub więcej liczb. Wyliczamy go w podobny sposób jak NWW. Jednak tym razem wszystkie czynniki pierwsze, które się powtarzają we wszystkich wskazanych w zadaniu liczbach mnożymy przez siebie. Przykład:
Obliczenia NWD(36, 90)
36/2=18, 18/2=9, 9/3=3, 3/3=1
2, 2, 3, 3
90/2=45, 45/3=15, 15/3=5, 5/5=1
2, 3, 3, 5
W obu liczbach powtarzają się czynniki 2, 3 i 3. Mnożąc je przez siebie uzyskamy wynik 233=18 i jest to szukane NWD, czyli największy wspólny dzielnik liczb 36 oraz 90.
